ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
↓
แทนสัญลักษณ์ค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นจริงด้วย T และค่าความจริงเป็นเท็จด้วย F
↓
ตัวเชื่อมในตรรกศาสตร์ ได้แก่
1) "∧" แทน และ
2) "∨" แทน หรือ
3) "⟶" แทน ถ้า...แล้ว
4) "↔️" แทน ...ก็ต่อเมื่อ...
5) "∼" แทน ไม่, ไม่ใช่ แทนนิเสธของประพจน์
↓
ลำดับความสำคัญ กรณีโจทย์ไม่ใส่วงเล็บให้
1) "∼" 2) "∧" "∨" 3) "⟶" 4) "↔️"
↓
ตารางค่าความจริงของประพจน์ p และ q ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อมต่างกัน
↓
รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน
↓
P(x) เป็นนิเสธกับ Q(x) ก็ต่อเมื่อ ∼[P(x)] ≡ Q(x)
↓
รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี (จำนวนกรณี = 2n เมื่อ n คือจำนวนประพจน์ย่อย) รูปแบบประพจน์นั้น คือ สัจนิรันดร์ (Tautology)
↓
ตรวจสอบสัจนิรันดร์
1) ตัวเชื่อม "∨" และ "⟶" ให้สมมติค่าความจริงของประพจน์ประสมเป็นเท็จ ถ้าขัดแย้งภายในแผนภาพเพียง 1 กรณีก็จะเป็นสัจนิรันดร์
2) ตัวเชื่อม "∧" ให้สมมติค่าความจริงเป็นจริง และต้องไม่ขัดแย้งในแผนภาพสักกรณีเดียว
3) ตัวเชื่อม "↔️" ประพจน์ด้านซ้ายและด้านขวาที่มีตัวเชื่อมนี้อยู่ตรงกลาง ถ้าสมมูลกันจะเป็นสัจนิรันดร์
↓
ประโยคเปิด ต้องใช้คู่กับเอกภพสัมพัทธ์จึงจะเป็นประพจน์ที่บอกค่าความจริงได้
องค์ประกอบ ได้แก่
1) ตัวบ่งปริมาณ มี 2 ชนิด ได้แก่
∀x[for all] สำหรับทุกค่าของ x, สำหรับ x แต่ละตัว และ
∃x[for some] สำหรับบางจำนวนของ x, มี x บางตัวที่, มี x อย่างน้อยหนึ่งตัวที่
2) ประโยคสัญลักษณ์ที่มีตัวแปร
↓
∀x[P(x)] เป็น T เมื่อทุกตัวใน U แทนใน x แล้วทำให้ P(x) เป็นจริง แต่ถ้ามีเพียง 1 ตัวใน U ที่แทนใน x แล้ว P(x) เป็นเท็จ ประพจน์นั้นเป็น F ทันที
↓
ในทางกลับกัน ∃x[P(x)] ถ้ามีอย่างน้อง 1 ตัวใน U แทนใน x แล้วทำให้ P(x) เป็นจริง แล้วประพจน์จะเป็น T แต่ถ้าไม่มีเลย เป็น F
↓
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)] และ ∼∃x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)]
↓
ตัวบ่งปริมาณสองตัว มี 4 รูปแบบ
1) ∀x∀y[P(x, y)] เป็น T เมื่อทุกคู่ของสมาชิกใน U ที่แทนใน P(x, y) แล้วทำให้ P(x, y) เป็นจริงถ้ามีเพียงคู่เดียวทำให้ P(x, y) เป็นเท็จ แล้วประพจน์นี้จะเป็น F
2) ∃x∃y[P(x, y)] เป็น T เมื่อมีเพียงคู่เดียวของสมาชิกใน U ทำให้ P(x, y) เป็นจริง ถ้าไม่มี เป็น F
3) ∀x∃y[P(x, y)] เป็น T เมื่อ x ทุกตัวใน U แทนใน P(x, y) แล้วหาค่า y ได้ใน U แต่ถ้า x ตัวใดตัวหนึ่งทำให้หาค่า y ใน U ไม่ได้ ก็จะเป็น F ทันที
4) ∃x∀y[P(x, y)] เป็น T เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวใน U เมื่อแทนใน P(x, y) แล้วสามารถหาค่า y ซึ่งเป็นสมาชิกทุกตัวใน U ได้ หรือ x 1 ตัวจับกับสมาชิกใน U ได้ทุกตัว แต่ถ้าไม่มีก็เป็น F
↓
การอ้างเหตุผล จะสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นให้เชื่อมประพจน์ที่เป็นเหตุทุกตัวด้วย "∧" แล้วเชื่อมทั้งหมดกับผลด้วย "⟶" ถ้าประพจน์ประสมนี้เป็นสัจนิรันดร์ การอ้างนี้สมเหตุสมผล
↓
การให้เหตุผลแบบอุปนัย และนิรนัยนั้นเป็นทักษะทางคณิตศาสตร์ที่นักเรียนควรมีเพื่อสังเกตความสัมพันธ์ของจำนวน รูปร่าง รูปทรง และทำนายความน่าจะเป็นได้ ในข้อสอบนิยมออกเช่นนี้
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น