การสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ (Permutation and Combination)
1. กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ
กล่าวถึง การหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่เป็นไปได้ในการกระทำกิจกรรมใดกิจกรรมหนึ่ง โดยมีวิธีหาคำตอบที่เป็นระบบระเบียบอยู่ 4 วิธี
1.1 แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)
Ex. ในการเล่นการพนันครั้งหนึ่ง เล่นได้ไม่เกิน 5 ครั้ง ถ้าชนะ จะได้เงินครั้งละ 1 บาท และถ้าแพ้จะเสียเงิน 1 บาท นาย ก เล่นการพนันชนิดนี้ เมื่อเริ่มเล่นมีเงินเพียง 1 บาท เขาจะเลิกเล่นเมื่อมีกำไร 2 บาท หรือมีเงิน หรือเงินหมด นาย ก จะมีวิธีเล่นได้กี่วิธี
1.2 กฎการคูณ (Multiplication Principle)
ถ้าต้องการทำงานสองอย่าง โดยที่งานแรกทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีเลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีที่ทำงานอย่างที่สองได้ n2 วิธี
จำนวนวิธีที่เลือกทำงานทั้งสองอย่าง = n1・n2 วิธี
Ex. สนามกีฬาแห่งหนึ่งมีประตู 4 ประตู จะมีวิธีเข้า-ออก จากสนามแห่งนี้ได้กี่วิธี เมื่อ
1) เข้าและออกประตูใดก็ได้ = 4x4 = 16 วิธี
2) เข้าประตูหนึ่งและออกอีกประตูหนึ่งโดยไม่ซ้ำกับประตูที่เข้ามา = 4x3 = 12 วิธี
Ex. มีเลขโดด 5 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 จะสร้างเลขสองหลักได้ทั้งหมดกี่จำนวน เมื่อ
1) เลขสองหลักจะซ้ำกันไม่ได้ = 4x4 = 16 วิธี (หลักสิบใช้ 0 ไม่ได้ หลักหน่วยเอา 0 มาใช้ได้)
2) เป็นเลขคู่ และแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน (ต้องแบ่งเป็น 2 กรณี)
2.1) ให้หลักหน่วยเป็น 0 = 4x1 = 4 วิธี
2.2) ให้หลักหน่วยเป็น 2 หรือ 4 = 3x2 = 6 วิธี
รวม 10 วิธี
ถ้าต้องการทำงาน k อย่าง โดยงานแรกทำได้ n1 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานแรก มีวิธีทำงานที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรกและอย่างที่สอง มีวิธีทำงานอย่างที่สามได้ n3 วิธี
จำนวนวิธีทั้งหมด = n1・n2・n3・ ...・nk วิธี
Ex. เด็กคนหนึ่งต้องการส่งจดหมาย 3 ฉบับลงในตู้ไปรษณีย์ 4 ตู้ เขาจะมีวิธีส่งจดหมายกี่วิธี เมื่อ
1) จดหมายแต่ละฉบับอยู่ในตู้ใดก็ได้ = 4x4x4 = 64 วิธี (เราเอาจดหมายแต่ละฉบับหย่อนลงตู้)
2) จดหมายแต่ละฉบับอยู่ตู้เดียวกันไม่ได้ = 4x3x2 = 24 วิธี
Ex. นก 5 ตัวเกาะบนต้นไม้ 3 ต้น ได้ทั้งหมดกี่วิธี (นกแต่ละตัวเกาะต้นไม้ได้ 3 วิธี) = 3x3x3x3x3 = 243 วิธี
1.3 กฎการบวก (Addition Principle)
ถ้าทำงาน k อย่างโดยแต่ละงานนั้นทำงานพร้อมกันไม่ได้ ดังนั้นจำนวนวิธีที่จะทำงานนี้ เท่ากับ ผลบวกของจำนวนวิธีของทางเลือกแต่ละงาน
จำนวนวิธีทั้งหมด = n1+n2+n3+ ...+nk วิธี
Ex. มีหนังสือ 6 เล่มต่างกัน เป็นตำราคณิตศาสตร์ 2 เล่ม จะจัดเรียงบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี ถ้าจัดเรียงทั้ง 6 เล่ม โดยให้หัวแถว และท้ายแถว เป็นตำราคณิตศาสตร์
กรณีที่ 1 คณิตเล่ม 1 _ _ _ _ คณิตเล่ม 2 = 1x4x3x2x1x1
กรณีที่ 2 คณิตเล่ม 2 _ _ _ _ คณิตเล่ม 1 = 1x4x3x2x1x1
เอา 2 กรณีมารวมกัน = (1x4x3x2x1x1)+(1x4x3x2x1x1) = 48 วิธี
1.4 หลักการลบ (Subtraction Principle)
จำนวนวิธีที่ต้องการ = จำนวนวิธีทั้งหมด-จำนวนวิธีที่ไม่ต้องการ
Ex. การทาสีวงกลม 5 วงที่คล้องกันดังภาพ ด้วยสีแดง สีน้ำเงิน สีเหลือง สีฟ้า สีส้ม สีดำ และสีเขียว จำนวนวิธีทำได้ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีอย่างน้อย 2 วงสีเหมือนกันเท่ากับเท่าใด (เราไม่จำเป็นต้องแบ่งเป็นกรณี 2 วง, 3 วง, 4 วง, 5 วงสีเหมือนกัน)
ภาพสำหรับโจทย์ข้อตัวอย่าง
จำนวนวิธีที่ต้องการ = จำนวนวิธีทาสีวงกลมทั้งหมด-จำนวนวิธีที่ทาสีบนวงกลมไม่เหมือนกัน
จำนวนวิธีที่ต้องการ = (7x7x7x7x7)-(7x6x5x4x3)
จำนวนวิธีที่ต้องการ = 16,807-2,520 = 14,287 วิธี
ตัวอย่างพิเศษง
Ex. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 จะสร้างจำนวนที่มากกว่า 330 ได้ทั้งหมดกี่จำนวน โดยที่เลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน
จำนวนวิธีการสร้างตัวเลข = 3 หลัก + 4 หลัก + 5 หลัก + 6 หลัก
เราต้องหาจำนวนวิธีในการสร้างเลข 3 หลักที่มากกว่า 330 = หลักร้อยเป็น 3 + หลักร้อยเป็น 4, 5
= (1x2x4)+(2x5x4) = 48 จำนวน
จำนวนวิธีการสร้างตัวเลข = 48+(5x5x4x3)+(5x5x4x3x2)+(5x5x4x3x2x1)
จำนวนวิธีการสร้างตัวเลข = 48+300+600+600 = 1,548 วิธี
Ex. จงสร้างจำนวนเต็มบวกที่มีค่าอยู่ระหว่าง 4,500-9,500 โดยที่เลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จะสร้างได้กี่จำนวน
อาจแบ่งเป็น 3 ช่วง
ช่วงที่ 1 4,500-4,999 = 1x5x8x7 = 280 จำนวน (ใช้เลข 4 กับอีกหนึ่งตัวใน 5-9 จึงเหลือในหลักสิบอีก 8 ตัว)
ช่วงที่ 2 5,000-8,999 = 4x9x8x7 = 2,016 จำนวน
ช่วงที่ 3 9,000-9,500 = 1x5x8x7 = 280 จำนวน
จะสร้างได้ 280+2,016+280 = 2,576 จำนวน
Ex. จะมีเลขจำนวนเต็มกี่จำนวนระหว่าง 1,000-9,999 ที่มีเลข 7 ปน
จำนวนตัวเลขที่มี 7 ปน = จำนวนตัวเลขทั้งหมด-จำนวนตัวเลขที่ไม่มี 7 ปน
จำนวนเต็มตั้งแต่ 1,000-9,999 = 9x10x10x10 = 9,000 จำนวน
จำนวนตัวเลขที่ไม่มี 7 ปน = 8x9x9x9 = 5,832 จำนวน
จำนวนเต็มที่มีเลข 7 ปน = 9,000-5,832 = 3,168 จำนวน (ในนี้เลข 1,000 และ 9,999 ถูกหักพร้อมกับ 5,892 จำนวนแล้ว)
การหาจำนวนตัวประกอบจำนวนเต็ม m ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
1. แยกตัวประกอบในรูปการคูณของเลขยกกำลังที่ฐานเป็นจำนวนเฉพาะ
2. เลขยกกำลังที่ได้แต่ละตัวให้บวก 1 แล้วนำมาคูณกัน
3. ถ้าถามจำนวนเต็มทั้งหมดที่หาร m ลงตัวให้คูณ 2 (เพราะมีจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ)
แฟคทอเรียล (Factorial)
เมื่อ n∈I+แฟคทอเรียล n หรือ n! หมายถึง ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n
n! = n・(n-1)・(n-2)...3・2・1
สิ่งที่ควรรู้ 0! = 1
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น